LaTeX渲染功能测试h1

这篇文章用于测试Astro Litos主题的LaTeX渲染功能，包含各种复杂的数学公式，如单行公式、多行公式、矩阵、积分、求和等。

1. 单行公式h2

基本数学运算h3

$E = mc^2$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

希腊字母h3

$\alpha + \beta = \gamma$

$\Delta = \nabla \cdot \vec{F}$

2. 多行公式h2

方程组h3

$$\begin{cases} 3x + 2y = 10 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$$

推导过程h3

$$\begin{align} (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a - b)^3 &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \\ \sum_{i=1}^{n} i &= \frac{n(n+1)}{2} \end{align}$$

极限与导数h3

$$\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} &= 1 \\ \frac{d}{dx} x^n &= nx^{n-1} \\ \frac{d}{dx} \ln x &= \frac{1}{x} \end{align}$$

3. 矩阵h2

基本矩阵h3

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

行列式h3

$$\det\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

增广矩阵h3

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{array}\right)$$

特殊矩阵h3

单位矩阵h4

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

对角矩阵h4

$$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}$$

4. 微积分h2

定积分h3

$$\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$

双重积分h3

$$\iint_{D} f(x,y) dx dy = \int_{a}^{b} \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) dy dx$$

线积分h3

$$\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$$

5. 概率论与统计h2

概率分布h3

正态分布概率密度函数：

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

期望与方差h3

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$ $$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$

6. 线性代数h2

特征值与特征向量h3

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

矩阵乘法h3

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}$$

向量运算h3

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$$ $$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

7. 复杂公式组合h2

薛定谔方程h3

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r}, t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right) \Psi(\vec{r}, t)$$

麦克斯韦方程组h3

$$\begin{align} \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \\ \nabla \times \vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{B} &= \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{align}$$

爱因斯坦场方程h3

$$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$

8. 分式与根式h2

$$\frac{a + b}{c + d}$$ $$\sqrt[n]{x^n + y^n}$$ $$\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2}}}$$

9. 逻辑与集合论h2

$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$ $$\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : x + y = 0$$

10. 其他数学符号h2

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$ $$\prod_{i=1}^{n} i = n!$$ $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

$\Delta=\frac{-b\pm \sqrt{ b^2-4ac }}{2a}$

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这篇文章包含了各种复杂的LaTeX数学公式，用于测试Astro Litos主题的LaTeX渲染功能。如果所有公式都能正确渲染，说明主题的LaTeX渲染功能工作正常。

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